a) Áp dụng HTL => \(AE.AB=AH^2\)và \(AF.AC=AH^2\)

<=> Ta lần lượt có \(AE.m=AH^2\)và \(AF.n=AH^2\)

Tiếp tục áp dụng HTL => \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)=> \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}=\frac{\left(m^2+n^2\right)}{m^2n^2}\)

<=> \(AH^2=\frac{\left(m^2n^2\right)}{m^2+n^2}\)

=> AE.m=\(\frac{m^2n^2}{m^2+n^2}\)và AF.n=\(\frac{m^2n^2}{m^2+n^2}\) 

=> AE; AF=......

b) Lần lượt áp dụng các HTL, ta có: 

\(BE.AE=HE^2\); \(AF.CF=HF^2\)

<=> \(BE.CF.AE.AF=\left(HE.HF\right)^2\)

Do tứ giác AEHF có 3 góc vuông => AEHF là HCN => HE=AF; HF=AE; AH=EF

<=> \(BE.CF.BC=AE.AF.BC\) \(=\frac{AE.AF.BC.AH}{AH}\)\(=\frac{AE.AB.AF.AC}{AH}\)(HTL)\(=\frac{AH^2.AH^2}{AH}=AH^3=EF^3\)(Lại Áp dụng HTL) 

=> \(BC.CF.BC=EF^3\left(đpcm\right)\)

dòng cuối là \(BE.BC.CF=EF^3\)nhé mình đánh vội nên viết nhầm

Lời giải:

a) Áp dụng các công thức trong hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với:

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$: $\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}$

$\Rightarrow AH^2=\frac{m^2n^2}{m^2+n^2}$

Tam giác $AHC$ vuông tại $H$ đường cao $HE$: $AH^2=AE.AC$

$\Leftrightarrow \frac{m^2n^2}{m^2+n^2}=AE.n\Rightarrow AE=\frac{m^2n}{m^2+n^2}$

Hoàn toàn tương tự: $AF=\frac{mn^2}{m^2+n^2}$

b) Đề đúng phải là: $EF^3=AE.BC.AF$

Xét tứ giác $AEHF$ có 3 góc vuông nên $AEHF$ là hình chữ nhật.

$\Rightarrow EF=AH\Rightarrow EF^3=AH^3(*)$

Mặt khác:

Theo phần a: $AH^2=AE.AC=AF.AB$

$\Rightarrow AH^4=AE.AF.AB.AC=AE.AF.2S_{ABC}=AE.AF.AH.BC$

$\Leftrightarrow AH^3=AE.AF.BC(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow EF^3=AE.AF.BC$ (đpcm)

c)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông với tam giác $ABC$, đường cao $AH$ và tam giác vuoogn $AHC$ đường cao $HE$:

$BF.\sqrt{CH}+CE.\sqrt{BH}=AH.\sqrt{BC}$

$\Leftrightarrow BF.\sqrt{CH.CB}+CE.\sqrt{BH.BC}=AH.BC$

$\Leftrightarrow BF. \sqrt{AC^2}+CE.\sqrt{AB^2}=AH.BC$

$\Leftrightarrow BF.AC+CE.AB=AH.BC$

$\Leftrightarrow (BA-AF)AC+CE.AB=AH.BC$

$\Leftrightarrow AF.AC=CE.AB$

$\Leftrightarrow $AF.AC=\frac{HE^2}{AE}.AB$

$\Leftrightarrow AF.AC=\frac{AF^2}{AE}.AB$

$\Leftrightarrow AE.AC=AF.AB$ (luôn đúng vì cùng bằng $AH^2$)

Vậy........

Hình vẽ:

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(AH^2=HB\cdot HC\left(1\right)\)

Xét ΔABH vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AH^2=AE\cdot AB\left(2\right)\)

Xét ΔACH vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AH^2=AF\cdot AC\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC=BH\cdot HC\)

Tải app giải toán và kết bạn trao đổi nào cả nhà: https://www.facebook.com/watch/?v=485078328966618

Gái xinh review app chất cho cả nhà đây: https://www.facebook.com/watch/?v=485078328966618 Link tải app: https://www.facebook.com/watch/?v=485078328966618

Help T . T

Đề thi thử + tính điểm với những đề mới nhất cả nhà tải app dùng thử nhé https://giaingay.com.vn/downapp.html

Ứng dụng giải toán đã được review rất hay bởi trang báo uy tín https://www.facebook.com/docbaoonlinethayban/videos/467035000526358/?v=467035000526358 Cả nhà tải ngay bằng link dưới đây nhé. https://giaingay.com.vn/downapp.html

điểm với những đề mới nhất cả nhà tải app dùng thử nhé https://giaingay.com.vn/downapp.html

a) Để tính AC, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông: AC^2 = AB^2 + BC^2. Với AB = 12cm và BC = 20cm, ta có: AC^2 = 12^2 + 20^2 = 144 + 400 = 544. Do đó, AC = √544 ≈ 23.32cm.

Để tính góc B, ta sử dụng công thức sin(B) = BC/AC. Với BC = 20cm và AC = 23.32cm, ta có: sin(B) = 20/23.32 ≈ 0.857. Từ đó, góc B ≈ arcsin(0.857) ≈ 58.62°.

Để tính AH, ta sử dụng công thức cos(B) = AH/AC. Với góc B ≈ 58.62° và AC = 23.32cm, ta có: cos(B) = AH/23.32. Từ đó, AH = 23.32 * cos(58.62°) ≈ 11.39cm.

b) Ta cần chứng minh AE.AC = AB^2 - HB^2. Vì ΔABC vuông tại A, ta có: AE = AB * sin(B) (theo định lý sin trong tam giác vuông) AC = AB * cos(B) (theo định lý cos trong tam giác vuông) HB = AB * sin(B) (theo định lý sin trong tam giác vuông)

Thay các giá trị vào biểu thức cần chứng minh: AE.AC = (AB * sin(B)) * (AB * cos(B)) = AB^2 * sin(B) * cos(B) = AB^2 * (sin(B) * cos(B)) = AB^2 * (sin^2(B) / sin(B)) = AB^2 * (1 - sin^2(B)) = AB^2 * (1 - (sin(B))^2) = AB^2 * (1 - (HB/AB)^2) = AB^2 - HB^2

Vậy, ta đã chứng minh AE.AC = AB^2 - HB^2.

c) Ta cần chứng minh AF = AE * tan(B). Vì ΔABC vuông tại A, ta có: AE = AB * sin(B) (theo định lý sin trong tam giác vuông) AF = AB * cos(B) (theo định lý cos trong tam giác vuông)

Thay các giá trị vào biểu thức cần chứng minh: AF = AB * cos(B) = AB * (cos(B) / sin(B)) * sin(B) = (AB * cos(B) / sin(B)) * sin(B) = AE * sin(B) = AE * tan(B)

Vậy, ta đã chứng minh AF = AE * tan(B).

d) Ta cần chứng minh tỉ lệ giữa các đường cao trong tam giác vuông ΔABC. CE/BF = AC/AB

Vì ΔABC vuông tại A, ta có: CE = AC * cos(B) (theo định lý cos trong tam giác vuông) BF = AB * cos(B) (theo định lý cos trong tam giác vuông)

Thay các giá trị vào biểu thức cần chứng minh: CE/BF = (AC * cos(B)) / (AB * cos(B)) = AC/AB

Vậy, ta đã chứng minh CE/BF = AC/AB.

2: \(BC\cdot cos^3B\)

\(=BC\cdot cosB\cdot cos^2B\)

\(=BC\cdot\dfrac{BA}{BC}\cdot\left(\dfrac{BH}{BA}\right)^2=BA\cdot\dfrac{BH^2}{BA^2}=\dfrac{BH^2}{BA}=BD\)

1: \(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

\(BH=\dfrac{6^2}{10}=3.6\left(cm\right)\)

Xét ΔBAC vuông tại A có sin B=AC/BC=4/5

nên góc B=53 độ

=>góc C=37 độ